최단 경로 문제

최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미합니다.

다양한 문제 상황

   한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로

   한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로

   모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로

각 지점은 그래프에서 노드로 표현

지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘 개요

특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산합니다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작합니다.

    현실 세께의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않습니다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류됩니다.

    매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복합니다.

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘

알고리즘의 동작 과정은 다음과 같습니다.

1.    출발 노드를 설정합니다.

2.    최단 거리 케이블을 초기화 합니다.

3.    방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택합니다.

4.    해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신합니다.

5.    위 과정에서 3번과 4번을 반복합니다.

 

다익스트라 알고리즘의 동작과정

 

알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있습니다.

처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 '이제부터 이 경로가 제일 짧은 경로야'라고 갱신합니다.

 

그래프를 준비한 뒤 테이블에서 출발 노드까지의 거리가 0이고 다른 모든 노드에 대해서는 거리가 무한인 것으로 초기화합니다. 방문하지 않는 노드중에서 가장 거리가 짧은 노드를 매번 선택해서 해당 노드를 거쳐가는 경로를 확인하여 테이블을 갱신합니다.

 

1번 노드를 거쳐서 가는 비용과 현재까지의 비용을 비교해서 더 짧은 노드로 갱신할 수 있도록 합니다.

1번 노드를 통해서 갈 수 있는 노드는 2, 3, 4 입니다.

 

그 방문하지 않은 노드(2, 3, 4, 5, 6) 중에서 1과 가장 가까운 4번 노드를 선택해서 처리할 수 있도록 합니다.

 

이제 4번 노드에 인접한 3 과 5번을 확인합니다. 이때 4번 노드까지 가기 위한 비용은 1로 결정되어 더이상 바뀌지 않습니다.

 

3번은 1 -> 3으로 가는 값인 5와 1 -> 4 -> 3으로 가는 값인 4를 비교하여 더 작은 값인 4로 업데이트 해줍니다.

최단 거리가 같을 때에는 일반적으로 낮은 번호(2번)를 선택합니다.

 

2번에 인접한 3, 4까지의 가는 길을 확인합니다.

 

3번은  5가 나오기 때문에 false, 4번도 4가 나오기 때문에 false(이미 방문한 노드는 무시하는 방법을 사용할 수 있습니다.)

다익스트라 알고리즘의 특징

그리디 알고리즘: 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복

단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정 되어 더 이상 바뀌지 않습니다.

    한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히찾는 것으로 이해할 수 있습니다.

다익 스트라 알고리즘을 수행한 뒤 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장됩니다.

    완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 합니다.

 

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
  a, b, c = map(int, input().split()) # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
  graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
  min_value = INF
  index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
  for i in range(1, n + 1):
    if distance[i] < min_value and not visited[i]:
      min_value = distance[i]
      index = i
  return index

def dijkstra(start):
  # 시작 노드에 대해서 초기화
  distance[start] = 0
  visited[start] = True
  for j in graph[start]:
    distance[j[0]] = j[1]
  # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
  for i in range(n - 1):
    # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서 방문 처리
    now = get_smallest_node()
    visited[now] = True
    # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
    for j in graph[now]:
      cost = distance[now] + j[1]
      # 현재 노드를 거펴서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance[j[0]]:
        distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
  # 도달할 수 없는 경우, 무한 이라고 출력
  if distance[i] == INF:
    print("INFINITY")
  # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
  else:
    print(distance[i])